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Options - le modèle binomial (Cox, Ross et Rubinstein)
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La formule de Black et Scholes est utilisée pour les options de style européen. Les options sur actions sont souvent de style américain (sauf sur le marché du gré à gré).

La possibilité de pouvoir exercer l'option à n'importe quel moment pendant sa vie ajoute une grosse difficulté à l'estimation de la prime. En effet, pour pouvoir estimer correctement la valeur de la prime, il faut non seulement estimer la valeur de l'actif sous-jacent à la date d'expiration de l'option (comme dans le modèle de Black et Scholes) mais aussi pendant la vie de l'option pour vérifier si il n'est pas intéressant d'exercer cette option avant maturité. Cette valeur d'exercice doit être comparée à tout instant à la valeur de l'option et on doit prendre comme valeur de prime la plus grande des deux. Pour cela on va utiliser une méthode numérique binomiale.

Pour évaluer une option de style américain, nous allons estimer pour toutes les périodes si la prime est plus importante morte ou vivante. La prime morte est la valeur intrinsèque de l'option (le maximum de 0 et S-E une option d'achat, le maximum de 0 et E-S pour une option de vente, avec S le prix de l'actif sous-jacent et E la valeur d'exercice de l'option). Pour calculer la valeur de l'option 'vivante' on utilise la formule suivante (pour une option d'achat):

C = [p Cu + (1-p) Cd] / r

avec:

r = un plus le taux d'intérêt sans risque pour la période étudiée.
L'hypothèse que le prix de l'actif sous-jacent varie de soit un facteur u (pe 1.08) ou d (pe 0.96) pour la période suivante.
p = (r-d) / (u-d)
Cu = Max(uS-E)

Si on applique les facteurs d et u plusieurs fois, on arrive à plusieurs prix à maturité (S1, S2, ...., Sx) et donc à plusieurs valeurs de l'option d'achat C1, C2, ..., Cx.

En pratique, l'algorithme suit trois étapes:

  • Le prix de l'actif sous-jacent est estimé en utilisant les facteurs d (baisse) et u (hausse) répétitivement sur chaque période. Ces facteurs sont utilisés pour correspondre à la volatilité du titre.

  • La règle 0 Maximum est appliquée pour chaque valeur  S à la date de maturité de l'option.

  • La méthode décrite si dessus pour une période est appliquée récursivement pour ramener le prix de l'option période par période.

La conclusion de ce calcul est que la question la plus importante à résoudre est le nombre de périodes qu'on doit utiliser en pratique pour estimer correctement la valeur de la prime de l'option. On utilise en général 25 périodes pour l'estimation binomiale de la prime d'une option de style américain.

Les options sont des instruments très volatils. Dans la sections suivante nous allons mesurer les risques des options (les grecques).

 


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